Conversión entre sistemas numéricos

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Anexo: conversión entre sistemas numéricos

En arquitectura de computadores usamos distintas formas de escribir un mismo número. La base indica cuántos símbolos podemos usar para cada posición:

Sistema	Base	Dígitos disponibles	Ejemplo del número cuarenta y cinco
Decimal	10	0 a 9	$45_{10}$
Binario	2	0 y 1	$101101_2$
Hexadecimal	16	0 a 9 y A a F	$2D_{16}$

En hexadecimal, A, B, C, D, E y F representan, respectivamente, los valores decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15. Las letras minúsculas significan lo mismo.

Cómo reconocer la base

En las expresiones matemáticas, el subíndice indica la base: $101101_2$, $45_{10}$ y $2D_{16}$ representan el mismo valor. En el ramo escribiremos los binarios sin un prefijo adicional y distinguiremos los hexadecimales con 0x: por ejemplo, $101101_2$ y 0x2D. El prefijo 0x indica que el número está en base 16; esos caracteres no forman parte de su valor. Es común verlo en direcciones de memoria, registros y volcados de memoria. También se puede escribir $2D_{16}$ cuando se indica la base con un subíndice.

El sistema binario sirve para expresar los bits que almacena y procesa el computador. El hexadecimal permite escribir valores binarios largos de manera más compacta; por eso aparece con frecuencia en direcciones, instrucciones y datos de bajo nivel. El decimal es el sistema que usamos habitualmente para contar y comunicar cantidades.

La idea común: valor posicional

Se cuentan las posiciones desde la derecha, comenzando en cero. Cada dígito aporta su valor multiplicado por la base elevada a la posición:

$$\text{valor decimal}=\sum _{i=0}^n{d}_i\cdot b^i$$

Aquí $b$ es la base y $d_i$ es el valor del dígito en la posición $i$. En binario usamos potencias de 2; en hexadecimal, potencias de 16. Por ejemplo, en decimal $345=3\cdot 10^2+4\cdot 10^1+5\cdot 10^0$.

De binario a decimal

Ejemplo: convertir $101101_2$ a decimal.

1. Numera las posiciones desde la derecha: $5,4,3,2,1,0$.
2. Multiplica cada bit por la potencia de 2 de su posición.
3. Suma los productos.

Posición $i$	5	4	3	2	1	0
Bit $d_i$	1	0	1	1	0	1
Aporte $d_i\cdot 2^i$	32	0	8	4	0	1

$$101101_2=1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=45_{10}$$

Un 0 no aporta valor, pero conserva su posición. Omitirlo cambiaría el número.

De decimal a binario

Ejemplo: convertir $45_{10}$ a binario. Buscamos qué potencias de 2 suman 45. Una potencia presente recibe el bit 1; una ausente recibe el bit 0.

1. La mayor potencia que cabe en 45 es $2^5=32$. Restamos: $45-32=13$. Escribimos 1 en la posición 5.
2. $2^4=16$ no cabe en 13. Escribimos 0 en la posición 4.
3. $2^3=8$ cabe: $13-8=5$. Escribimos 1 en la posición 3.
4. $2^2=4$ cabe: $5-4=1$. Escribimos 1 en la posición 2.
5. $2^1=2$ no cabe en 1. Escribimos 0 en la posición 1.
6. $2^0=1$ cabe: $1-1=0$. Escribimos 1 en la posición 0.

Leemos los bits desde la potencia mayor hasta la menor: $45_{10}=101101_2$. Podemos comprobarlo con la suma de la sección anterior: $32+8+4+1=45$.

De hexadecimal a decimal

Ejemplo: convertir $2A{F}_{16}$ a decimal. Primero reemplazamos las letras por sus valores: A vale 10 y F vale 15. Luego multiplicamos cada dígito por su potencia de 16.

Posición $i$	2	1	0
Dígito	2	A	F
Valor $d_i$	2	10	15
Aporte $d_i\cdot 16^i$	512	160	15

$$2A{F}_{16}=2\cdot 16^2+10\cdot 16^1+15\cdot 16^0=512+160+15=687_{10}$$

El prefijo hexadecimal no modifica el cálculo: 0x2AF es otra forma de escribir $2A{F}_{16}$.

De decimal a hexadecimal

Ejemplo: convertir $687_{10}$ a hexadecimal. Buscamos cuántas veces cabe cada potencia de 16, de mayor a menor. En cada posición el coeficiente debe estar entre 0 y 15.

1. $16^2=256$ cabe 2 veces: $2\cdot 256=512$. Restan $687-512=175$.
2. $16^1=16$ cabe 10 veces en 175: $10\cdot 16=160$. Restan $175-160=15$. El dígito de valor 10 se escribe A.
3. $16^0=1$ cabe 15 veces: $15\cdot 1=15$. No queda resto. El dígito de valor 15 se escribe F.

Por lo tanto, $687_{10}=2A{F}_{16}$, que escribiremos 0x2AF usando la convención del ramo. La comprobación consiste en desarrollar sus posiciones: $2\cdot 16^2+10\cdot 16^1+15\cdot 16^0=687$.

Para recordar el procedimiento

Hacia decimal: multiplica cada dígito por la base elevada a su posición y suma. Desde decimal: encuentra los coeficientes de esas mismas potencias, de la mayor a la menor. La base es 2 para binario y 16 para hexadecimal.